吳俊杰老師于17年7月初發(fā)布了一道Scratch題目，如圖所示。經(jīng)過(guò)4個(gè)小時(shí)的奮戰(zhàn)，我終于搞定了這道題目。下面我對(duì)本程序進(jìn)行匯整、說(shuō)明：首先介紹數(shù)學(xué)反證法證明周長(zhǎng)一定時(shí)正多邊形面積最大；接著介紹Scratch反證法的思路；然后介紹程序的操作方法；最后介紹程序的數(shù)學(xué)原理以及設(shè)計(jì)思路。

一、數(shù)學(xué)證明

首先證明等周定理，然后利用等周定理即可得到推論：等周多邊形面積最大是其正多邊形。等周定理的定義：在周長(zhǎng)一定的所有封閉平面曲線中，圓所圍的面積最大。下面先來(lái)證明等周定理。證明：設(shè)K是周長(zhǎng)一定而面積最大的圖形，只要證明K是一個(gè)圓即可。以下分三步來(lái)完成。

第一步：用反證法證明K是凸多邊形。如下圖所示，若K是一個(gè)凹圖形， 那就一定可以在它上面找到兩點(diǎn)A、B，其連線落在圖形K的外部。以AB為軸，把曲線AmB對(duì)稱到另一側(cè)，稱為曲線Am’M。圖形AmBC與圖形A m’BC的周長(zhǎng)相等，而后者面積更大，這與K有最大面積矛盾。故K只能是凸圖形。

第二步：用反證法證明平分K的周長(zhǎng)的弦也一定平分其面積。如下圖所示，設(shè)凸圖形K有最大面積，AB平分它的周長(zhǎng)，且弦AB把K分成兩部分Σ1和Σ2。Σ1≠Σ2，不妨設(shè)Σ1>Σ2，以AB為軸，把ACB對(duì)稱到另一側(cè)AC’B處，則周長(zhǎng)ACBC’A等于K的周長(zhǎng)，但面積ACBC’A>K的面積，這與K有最大面積矛盾。所以，平分K的周長(zhǎng)的弦也一定平分其面積。

第三步：證明平分周長(zhǎng)、面積的弦是直徑，從而K為圓。?用反證法。設(shè)AB平分K的周長(zhǎng)和面積，在K的邊界上任取一點(diǎn)C，只需證ACB為半圓。若不然，∠ACB≠90°，將下圖左側(cè)中的Σ1、Σ2剪下來(lái)，貼成另一個(gè)圖形（下圖右側(cè)），其中A’C’=AC，B’C’=BC，∠A’C’B’=?90°。這兩個(gè)圖形中，曲線ACB的長(zhǎng)等于曲線A’C’B’的長(zhǎng)，但后者面積較大，與K有最大面積矛盾。故ACB為半圓，從而K是圓。

于是，證得了等周定理：在所有等周的平面封閉圖形中，以圓的面積為最大。下面證明周長(zhǎng)相等的多邊形中，正多邊形的面積最大。

證明：在所有周長(zhǎng)相等的圖形中，正多邊形與圓形最接近，由等周定理的定義可知，正多邊形的面積最大。

參考文獻(xiàn)

《探索等周定理的推廣及其應(yīng)用》

https://wenku.baidu.com/view/277a9c6169eae009581bec99.html

二、Scratch反證法

根據(jù)之前的證明可知正多邊形面積最大，因此本程序可能的設(shè)計(jì)思想如下：

1. 展示如上數(shù)學(xué)證明思路。這樣做雖然簡(jiǎn)單，但是很抽象，需要用戶詳細(xì)地跟隨程序的指引完成證明過(guò)程。

2. 給定正多邊形，讓用戶拖拽多邊形頂點(diǎn)，同時(shí)保證等周的條件。如果用戶找不到更大面積的情形，即反證了本題目。這樣做雖然復(fù)雜，但是用戶體驗(yàn)好，且有數(shù)學(xué)證明保證正確性。本程序選擇此設(shè)計(jì)方法。

三、程序操作說(shuō)明

四、程序數(shù)學(xué)原理

?????? 本程序的難點(diǎn)在于拖拽頂點(diǎn)時(shí)保證等周，即周長(zhǎng)不變。顯然，橢圓的第一定義可以滿足這一點(diǎn)：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)2a (2a>|F1F2|) 的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫做橢圓。即 |PF1|+|PF2|=2a。

根據(jù)定義可知，F(xiàn)1P+F2P=F1P’+F2P’，這就是等周的關(guān)鍵。當(dāng)點(diǎn)擊某個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，得到左右相鄰兩頂點(diǎn)的坐標(biāo)，以此作為橢圓的兩焦點(diǎn)，計(jì)算F1P+F2P后即可得到橢圓的各個(gè)參數(shù)，然后限制頂點(diǎn)P的移動(dòng)再次橢圓軌跡上即可保證等周。橢圓的一般化參數(shù)方程如下：

其中參數(shù)t決定了頂點(diǎn)位于橢圓線上的位置，可以設(shè)置為鼠標(biāo)在舞臺(tái)上的角度；參數(shù)τ是橢圓和x軸的夾角；參數(shù)a、b是橢圓的長(zhǎng)短軸長(zhǎng)度；(h, k) 是橢圓中心點(diǎn)所在坐標(biāo)。

參考文獻(xiàn)

《Using the Ellipse to Fit and Enclose Data Points》

http://www.cs.cornell.edu/cv/OtherPdf/Ellipse.pdf

五、程序細(xì)節(jié)展示

?????? 本文僅展示核心腳本。當(dāng)點(diǎn)擊某個(gè)頂點(diǎn)后，程序會(huì)尋找該點(diǎn)左右相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)：

變量beforePointX和beforePointY是第一個(gè)相鄰點(diǎn)（即橢圓的第一個(gè)焦點(diǎn)）的XY坐標(biāo)，變量afterPointX和afterPointY是另一個(gè)相鄰點(diǎn)（即橢圓的第二個(gè)焦點(diǎn)）的XY坐標(biāo)。變量_C保存了當(dāng)前頂點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的長(zhǎng)度和，即橢圓第一定義中的2a。接著計(jì)算橢圓參數(shù)方程中的關(guān)鍵參數(shù)：

變量c1c2顯然是橢圓中心點(diǎn)位置，即參數(shù)方程中的 (h, k)；_C除以2即橢圓的半長(zhǎng)軸a；根據(jù)橢圓a2-b2=c2可以計(jì)算變量b的值；最后計(jì)算τ，需要注意水平情況，即在橢圓未發(fā)生傾斜時(shí)，斜率公式分母為0，所以要特殊處理。得到基礎(chǔ)數(shù)據(jù)后便可設(shè)置頂點(diǎn)的位置：

變量鼠標(biāo)方向就是參數(shù)方程中的t，設(shè)置為鼠標(biāo)的當(dāng)前方向：

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