同學(xué)們應(yīng)該都接觸過3D游戲和3D動畫，那些栩栩如生的畫面，大家知不知道其實它們并不是照片，而是通過編程讓計算機實時畫（計算）出來的呢？今天我們就來學(xué)習(xí)3D動畫的基本原理，以及用scratch實現(xiàn)3D動畫的方法。

3D是英文3-Dimension，是三維的意思的。Dimension就是維度。3D就是指長、寬、高三個維度，或者說由x、y、z三個坐標(biāo)軸構(gòu)成的一種空間表示方法。它們構(gòu)成了一個和我們現(xiàn)實生活一樣的立體空間。

在計算機科學(xué)家的努力下，現(xiàn)代計算機3D技術(shù)已經(jīng)可以達(dá)到以假亂真的效果，基本上可以純粹通過計算來精確重現(xiàn)現(xiàn)實世界或者人們想象中的場景，其精確性、真實性和無限可操作性，使得3D技術(shù)可以廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、教育、軍事、娛樂等領(lǐng)域。

大家知道電視機、電腦顯示器、手機屏幕等實際上是2D（二維）的平面，它只有長和寬（只有x軸和y軸，沒有z軸）。要在2D平面上顯示出3D立體效果，就需要“3D引擎”，將立體物體的形狀、光線、運動等抽象成數(shù)學(xué)的表現(xiàn)形式，再通過計算輸出2D圖像，建立一個個真實的電腦世界。

Scratch沒有自帶的3D引擎。但是只要知道了3D動畫背后的原理，我們可以自己制作一個3D引擎出來。這就是我們一直強調(diào)的編程的好玩和強大之處：只要你學(xué)習(xí)、掌握了事物背后的原理，我們就有辦法通過編程把它模擬出來。

1.????坐標(biāo)

接觸過scratch的同學(xué)對于2D坐標(biāo)已經(jīng)非常熟悉：一個物體的x坐標(biāo)代表它在屏幕左右方向的位置，y坐標(biāo)代表它在上下方向的位置。Scratch規(guī)定了舞臺的坐標(biāo)范圍分別是：x坐標(biāo)范圍在-240到240，y坐標(biāo)范圍在-180到180。?

3D坐標(biāo)系增加了一個z軸，其實就是2D坐標(biāo)在縱深方向的擴展。如下圖所示，紅色直線代表x、y、z軸，黑色點的坐標(biāo)（x,y,z）代表了它在三維立體空間中的位置。

在scratch的2D舞臺上畫一個四邊形，我們需要知道四個頂點的坐標(biāo)，然后把它們連線就可以畫出來。同樣道理，如果要在3D空間中畫出一個物體，一個方法是知道它的所有頂點的坐標(biāo)，然后把頂點用直線連起來。比如下面這個立方體，把它的8個頂點連起來就能畫出來。

事實上，最復(fù)雜的3D圖案和最真實的3D動畫，背后都是通過這種方法畫出來。當(dāng)然畫面細(xì)節(jié)越豐富，背后的數(shù)學(xué)模型越復(fù)雜，也需要越多的計算機資源（CPU、內(nèi)存、顯卡）。作為入門介紹，本文只用最基本的3D圖形作為例子。

比如下面這個八面體，它有6個頂點，上半部分和下半部分分別有四個三角形。它是最簡單的可以一筆畫出來的多面體（上面的立方體就不能一筆畫出來，而八面體可以，同學(xué)們可以思考一下為什么），比如依次連接點1-6-2-5-3-6-4-5-1-2-3-4-1就可以不重復(fù)任一條邊把它畫出來。

簡單來說，只要我們知道了八面體的6個頂點的3D坐標(biāo)，我們就能一筆過把它畫出來。

2.????投射

計算機屏幕是一個2D的平面，我們通過屏幕看到的3D物體，實際上是它根據(jù)透視原理在屏幕上的一個2D投射。

下圖說明了這個原理：視點代表了觀察者（眼睛或者攝像頭）的位置。藍(lán)色是一個3D物體，紅色平面代表了屏幕。綠色部分就是3D物體在屏幕上的投射。在屏幕上顯示一個3D物體，其實是顯示它在2D平面上的投射（綠色部分）。?

根據(jù)上圖可以知道，我們在屏幕上看到的一個3D物體的大小和形狀，其實跟以下幾個因素有關(guān)：

• 3D物體的實際位置

• 視點的位置

• 屏幕的位置

那3D空間某一個點投射在某個2D屏幕上的坐標(biāo)是怎么計算的呢？請看下圖：

上圖中P代表3D空間中的一個點，設(shè)它的位置坐標(biāo)值是x，y，z。現(xiàn)在要計算的是它在紅色的代表屏幕的平面上的投射點P’的坐標(biāo)值。其中O點代表視點。

兩次強調(diào)，3D點的投射除了和它本身的坐標(biāo)有關(guān)之外，還和視點位置、投射屏幕位置有關(guān)。這三個因素是互相影響的。忽略了任何一個因素都不能得出投射點坐標(biāo)！

上圖中綠色平面代表P經(jīng)過的、和紅色屏幕平面平行的一個平面。線段OAB和紅色以及綠色平面都垂直。為了方便計算，我們讓紅色平面與x軸和y軸組成的平面平行。這樣，線段OAB和z軸平行（并垂直于紅色及綠色平面）；線段BC以及AC’與x軸平行；線段PC以及P’C’與y軸平行。

因為BC與AC’平行、PC與P’C’平行。根據(jù)相似三角形的特點，我們很容易知道：

OA /OB = AC’ / BC = P’C’ / PC

所以，如果知道：

• P點坐標(biāo)x,y,z

• O點坐標(biāo)ox,oy,oz

• 紅色平面的z坐標(biāo)值pz

則：

OA = pz – oz

OB = z – oz

BC = x – ox

PC = y - oy

則P在紅色屏幕平面投射點P’的x、y軸坐標(biāo)值為：

• P’的x坐標(biāo) =
  ox + AC’ =
  ox + [(pz – oz) * (x - ox)/(z - oz)]

• P’的y坐標(biāo) =
  oy + P’C’ =
  oy + [(pz - oz) * (y - oy)/(z - oz)]

接下來我們就用這個結(jié)論在scratch里畫出一個3D的八面體來。

Scratch的2D舞臺就是上面圖中的紅色屏幕，我們要做的就是把3D物體在2D屏幕上的投射畫出來。所以在畫（編程）之前我們先要在自己心中有一個3D坐標(biāo)，視點的位置、屏幕的位置、物體的位置我們都要先想清楚。

八面體有6個頂點，如下圖依次連接點1-6-2-5-3-6-4-5-1-2-3-4-1就可以一筆過畫出它來:

-????? 首先我們用三個數(shù)組分別保存八面體6個頂點的x坐標(biāo)、y坐標(biāo)和z坐標(biāo)：

-????? 定義視點及投射屏幕平面的位置（前面說過，為了方便計算，我們讓投射平面與x軸和y軸組成的平面平行，所以投射面只有一個z值）

-????? 根據(jù)前面3D到2D屏幕的投射公式，自定義一個積木用來投射轉(zhuǎn)換：

-????? 接下來就依次投射1-6-2-5-3-6-4-5-1-2-3-4-1點，用畫筆畫出連接各點的軌跡。

執(zhí)行“投射八面體“積木就可以畫出下面的形狀：

3.????移動

?

物體移動只需要改變它所有頂點的x,y,z值，然后再重新投射一次就可以了。實現(xiàn)程序如下：

注意這里物體的移動是在原3D空間的移動，所以物體在x軸方向或y軸方向移動后，在屏幕上的投射會產(chǎn)生一定的旋轉(zhuǎn)效果。視點離投射平面越近，這種旋轉(zhuǎn)效果越明顯。

物體在z軸方向的移動會產(chǎn)生物體大小變化的視覺效果：物體遠(yuǎn)離視點時物體投射縮小，接近視點時物體投射增大。原理如下圖所示：

?

移動的效果如下：

4.????旋轉(zhuǎn)

物體旋轉(zhuǎn)涉及到三角函數(shù)的知識。推導(dǎo)過程需要一定的篇幅。我們只需要記住簡單的結(jié)論來應(yīng)用就可以了。

旋轉(zhuǎn)可以分為三種：沿x軸的旋轉(zhuǎn)、沿y軸的旋轉(zhuǎn)和沿z軸的旋轉(zhuǎn)。

-????? 沿x軸旋轉(zhuǎn)時，物體的x坐標(biāo)不變，y坐標(biāo)和z坐標(biāo)的變換規(guī)律是(A為旋轉(zhuǎn)角度)：

新的y坐標(biāo) = y * cos A + z * sin A

新的z坐標(biāo) = z * cos A - y * sin A

-????? 沿y軸旋轉(zhuǎn)時，物體的y坐標(biāo)不變，x坐標(biāo)和z坐標(biāo)的變換規(guī)律是(A為旋轉(zhuǎn)角度)：

新的x坐標(biāo) = x * cos A - z * sin A

新的z坐標(biāo) = x * sin A + z * sin A

-????? 沿z軸旋轉(zhuǎn)時，物體的z坐標(biāo)不變，x坐標(biāo)和y坐標(biāo)的變換規(guī)律是(A為旋轉(zhuǎn)角度)：

新的x坐標(biāo) = x * cos A - y * sin A

新的y坐標(biāo) = x * sin A + y * cos A

下圖顯示了沿z軸旋轉(zhuǎn)時的變換情況。有興趣的同學(xué)可以自己推導(dǎo)出坐標(biāo)的變換規(guī)律。

注意上面說的坐標(biāo)變化都是物體原3D坐標(biāo)的變化，而不是投射在2D平面上的投射坐標(biāo)的變化。換言之，旋轉(zhuǎn)改變物體坐標(biāo)后，還要重新計算投射坐標(biāo)。

旋轉(zhuǎn)的實現(xiàn)方法：

效果如下：

本文原程序可以在這個鏈接找到：

https://scratch.mit.edu/projects/282534568/

再給大家分享一個3D煙花動畫，主要也是運用了本文介紹的方法制作的3D效果。具體的制作方法有時間再給大家分享。

https://scratch.mit.edu/projects/282581016/

5.????結(jié)語

今天我們學(xué)習(xí)了基本的3D引擎制作方法。當(dāng)然這是最最基本的3D知識，大家看到，即使是最基本的3D原理，已經(jīng)用到不少的幾何和三角函數(shù)知識。對有志于研究最新3D技術(shù)的同學(xué)，比如3D游戲、VR（Virtual Reality虛擬現(xiàn)實）、AR（Augmented Reality增強現(xiàn)實）、3D打印等等，請進(jìn)一步打好數(shù)學(xué)和編程基礎(chǔ)。

事實上3D等圖形顯示技術(shù)屬于一門叫做計算機圖形學(xué)的學(xué)科。計算機圖形學(xué)可以幫助人腦從圖形圖像的角度理解事物本質(zhì)。在科學(xué)、娛樂、藝術(shù)、設(shè)計等領(lǐng)域，計算機圖形學(xué)都起著重要的基礎(chǔ)作用。期待有志于此的千里馬學(xué)員以后能創(chuàng)造出一個又一個的視覺奇跡。

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